• Co to jest system liczbowy?
• Systemy liczb niepozycyjnych
• Systemy liczb półpozycyjnych
• Systemy liczb pozycyjnych

Wyjaśniamy, czym jest system liczbowy i badamy charakterystykę każdego typu systemu na przykładach z różnych kultur.

Każdy system liczbowy zawiera pewien i skończony zestaw symboli.

Co to jest system liczbowy?

System liczbowy to zestaw symboli i reguł, za pomocą których można wyrazić liczbę obiektów w liczbie. ustawić, to znaczy, za pomocą którego można przedstawić wszystkie prawidłowe liczby. Oznacza to, że każdy system liczbowy zawiera dany i skończony zbiór symboli oraz dany i skończony zbiór reguł, według których należy je łączyć.

Systemy liczbowe były jednym z głównych wynalazków człowieka w czasach starożytnych, a każda z starożytnych cywilizacji miała swój własny system, związany z jej sposobem widzenia świata, czyli z jej kulturą.

Ogólnie rzecz biorąc, systemy numeracji można podzielić na trzy różne typy:

• systemy niepozycyjne. Są to te, w których każdy symbol odpowiada stałej wartości, niezależnie od pozycji, jaką zajmuje w liczbie (jeśli pojawia się jako pierwszy, z boku lub po).
• Systemy półpozycyjne. Są to takie, w których wartość symbolu ma tendencję do ustalania stałej, ale może być modyfikowana w określonych sytuacjach pojawiania się (choć bywają raczej wyjątkami). Jest rozumiany jako system pośredni między pozycyjnym a niepozycyjnym.
• Systemy pozycyjne lub ważone.Są to takie, w których wartość symbolu jest określana zarówno przez jego własną ekspresję, jak i przez miejsce, które zajmuje w liczbie, mogąc być mniej lub bardziej wartą lub wyrażać różne wartości w zależności od tego, gdzie się znajduje.

Możliwa jest również klasyfikacja systemów numeracji na podstawie liczby, której używają jako podstawy swoich obliczeń. Tak więc, na przykład, obecny system zachodni jest dziesiętny (ponieważ jego podstawa to 10), podczas gdy sumeryjski system liczbowy był sześćdziesiętny (jego podstawa wynosiła 60).

Systemy liczb niepozycyjnych

Systemy niepozycyjne były łatwe do nauczenia, ale wymagały wielu symboli.

Systemy liczb niepozycyjnych były pierwszymi, które istniały i miały najbardziej prymitywne podstawy: palce, węzły na linie lub inne metody zapisu do koordynowania zestawów liczb. Na przykład, jeśli policzysz na palcach jednej ręki, możesz liczyć na całe dłonie.

W tych systemach cyfry mają swoją wartość, niezależnie od ich położenia w łańcuchu symboli, a aby utworzyć nowe symbole, należy dodać wartości symboli (z tego powodu nazywane są również systemami addytywnymi). Systemy te były proste, łatwe do nauczenia, ale wymagały wielu symboli do wyrażania dużych ilości, więc nie były całkowicie wydajne.

Przykładami tego typu systemów są:

• Egipski system liczbowy. Pojawił się około trzeciego tysiąclecia pne. C., został oparty na dziesięciu i używany hieroglify różne dla każdego rzędu jednostek: jedna dla jednostki, jedna dla dziesięciu, jedna dla stu i tak dalej aż do miliona.
• System liczb Azteków. Typowe dla meksykańskiego imperium, miało 20 jako podstawę i używało określonych przedmiotów jako symboli: między innymi flaga równała się 20 jednostkom, pióro lub kilka włosów równało się 400, worek lub worek równało się 8000.
• Grecki system liczbowy.W szczególności joński został wynaleziony i rozpowszechniony we wschodniej części Morza Śródziemnego od IV wieku p.n.e. C., zastępując istniejący wcześniej system akrofoniczny. Był to system alfabetyczny, w którym litery oznaczały liczby, dopasowując literę do jej kardynalnego miejsca w alfabecie (A=1, B=2). Tak więc każdej liczbie od 1 do 9 przypisano literę, każdej dziesięciu inną określoną literę, każdej stu innej, aż użyto 27 liter: 24 alfabetu greckiego i trzy znaki specjalne.

Systemy liczb półpozycyjnych

Systemy półpozycyjne odpowiadały na potrzeby bardziej rozwiniętej gospodarki.

Półpozycyjne systemy liczbowe łączą pojęcie stałej wartości każdego symbolu z pewnymi regułami pozycjonowania, dzięki czemu można je rozumieć jako hybrydowy lub mieszany system między pozycyjnym i niepozycyjnym. Cieszą się udogodnieniami do reprezentowania dużych liczb, zarządzania kolejnością liczb i formalnymi procedurami, takimi jak mnożenie, dzięki czemu stanowią krok naprzód w złożoności w porównaniu z systemami niepozycyjnymi.

W dużej mierze pojawienie się systemów semipozycyjnych można rozumieć jako przejście do bardziej wydajnego modelu liczbowego, który mógłby zaspokoić bardziej złożone potrzeby bardziej rozwiniętej gospodarki, takiej jak wielkie imperia starożytności klasycznej.

Przykładami tego modelu numeracji są:

• System liczb rzymskich. Utworzony w starożytności rzymskiej, przetrwał do dziś. W tym systemie figury budowane były z pewnych wielkich liter alfabetu łacińskiego (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 itd.), których wartość była ustalana i operowana na zasadzie dodawania i odejmowania w zależności od gdzie pojawia się symbol.Jeśli symbol znajdował się na lewo od symbolu o równej lub mniejszej wartości (jak w II = 2 lub XI = 11), należy dodać wartości całkowite; natomiast jeśli symbol znajdował się na lewo od symbolu o wyższej wartości (jak w IX = 9 lub IV = 4), należało je odjąć.
• Klasyczny chiński system liczbowy. Jego początki sięgają około 1500 roku p.n.e. C. i jest bardzo ścisłym systemem pionowej reprezentacji liczb za pomocą własnych symboli, łączącym dwa różne systemy: jeden do pisania potocznego i codziennego, a drugi do dokumentacji handlowej lub finansowej. Był to system dziesiętny, który miał dziewięć różnych znaków, które można było umieścić obok siebie, aby dodać ich wartości, czasami wstawiając specjalny znak lub zmieniając położenie znaków, aby wskazać konkretną operację.

Systemy liczb pozycyjnych

Obecny system numeracji pochodzi z systemu hindusko-arabskiego.

Pozycyjne systemy liczbowe są najbardziej złożonym i wydajnym spośród trzech istniejących rodzajów systemów liczbowych. Połączenie odpowiedniej wartości symboli i wartości przypisanej przez ich pozycję pozwala im budować bardzo wysokie liczby z bardzo małą liczbą znaków, dodając i/lub mnożąc wartość każdego z nich, co czyni je bardziej wszechstronnymi i nowoczesnymi systemami.

Ogólnie rzecz biorąc, systemy pozycyjne używają ustalonego zestawu symboli, a dzięki ich połączeniu pozostałe możliwe figury powstają w nieskończoność, bez potrzeby tworzenia nowych znaków, ale raczej poprzez inaugurację nowych kolumn symboli. Oczywiście oznacza to, że błąd w łańcuchu zmienia również całkowitą wartość liczby.

Pierwsze przykłady systemów tego typu powstały w obrębie wielkich imperiów lub najbardziej wymagających kultur starożytnych kultur i handlu, takich jak Imperium Babilońskie II tysiąclecia p.n.e. C. Przykładami tego typu systemu numeracji są:

• Nowoczesny system dziesiętny.Za pomocą samych cyfr od 0 do 9, pozwala to zbudować dowolną możliwą liczbę, dodając kolumny, których wartość jest dodawana w miarę przesuwania się w prawo, mając dziesiątkę jako podstawę. Tak więc dodając symbole do 1 możemy zbudować 10, 195, 1958 lub 19589. Ważne jest, aby wyjaśnić, że użyte symbole pochodzą z cyfr hindusko-arabskich.
• System liczb hindusko-arabskich. Wynaleziona przez starożytnych mędrców Indii, a później odziedziczona przez muzułmańskich Arabów, dotarła na Zachód przez Al-Andalus i ostatecznie zastąpiła cyfry rzymskie tradycyjny. W tym systemie, podobnie jak we współczesnym systemie dziesiętnym, jednostki od 0 do 9 są reprezentowane przez określone glify, które przedstawiają wartość każdego z nich za pomocą linii i kątów. System działania tego systemu jest w zasadzie taki sam jak współczesny zachodni system dziesiętny.
• System liczb Majów. Został stworzony do mierzenia czasu, a nie do dokonywania operacji matematycznych, a jego podstawa była vigesimal, a jej symbole odpowiadają kalendarzowi tej cywilizacji prekolumbijskiej. Liczby, pogrupowane 20 na 20, są reprezentowane przez podstawowe znaki (paski, kropki i ślimaki lub muszle); i aby przejść do następnego wyniku, na następnym poziomie pisania dodaje się punkt. Ponadto Majowie byli jednymi z pierwszych, którzy użyli liczby zero.